1       Základní vlastnosti D-transformace

1.1    Delta operátor

Pro popis jednotlivých delta modelů zavádíme delta operátor. Definujeme jej jako relativní dopřednou diferenci

(1.1)

kde je diskrétní časová funkce, k je relativní diskrétní čas a T je vzorkovací perioda. Výhodou delta operátoru je, že pro T®0 přechází na operátor derivace zprava .

Z tohoto hlediska může delta operátor přispět ke sjednocení spojité a diskrétní teorie. Další výhodou je odolnost algoritmů používaných pro analýzu a syntézu proti ztrátě dobré numerické podmíněnosti vlivem zvyšující se frekvence vzorkování.

1.2    D-transformace

D-transformace je matematický aparát, který nám umožňuje snadný popis, analýzu a syntézu diskrétních systémů. Je určitou modifikací Z-transformace.

Pro definici D-transformace si zavedeme novou komplexní proměnnou

(1.2)

kde z  je komplexní proměnná Z-transformace. Potom přímou D-transformaci definujeme (viz [Mindeková 1996]) jako

(1.3)

a inverzní D-transformaci jako

(1.4)

 

Aby diskrétní časová funkce x(kT) byla originálem, musí být:

 nulová pro záporné k, tj.

(1.5)

- exponenciálního řádu, tzn. musí platit nerovnost

kde

(1.6)

První podmínku splníme vynásobením dané diskrétní časové funkce diskrétním Heavisideovým skokem definovaným

(1.7)

Srovnáním definičních vztahů pro přímou Z-transformaci a D-transformaci obdržíme následující vztahy mezi D-obrazem a Z-obrazem:

(1.8)

L-transformaci můžeme z D-transformace obdržet jednoduchým nastavením vzorkovací periody na nulu. To je velmi užitečná vlastnost D-transformace, neboť nám umožňuje podat sjednocenou transformační teorii, která současně zahrnuje jak diskrétní tak spojité případy.

Odvození:
Do výrazu   dosadíme vztah mezi L a Z-transformací

(1.9)

potom pro limitní přechod platí:

(1.10)

tedy

(1.11)

1.3    Základní vlastnosti D-transformace

1.3.1        Linearita

(1.12)

1.3.2        Posuv v časové oblasti vpravo (zpoždění)

zpoždění o vzorkovací periodu T

položíme-li , potom

Aby funkce  x(iT) mohla být originálem, musí být pro záporný čas nulová, tzn. x(-T) = 0.

Výše uvedený výraz lze potom napsat:

Dalšími úpravami obdržíme:

(1.13)

b) zpoždění o mT, viz [Mindeková 1996]

(1.14)

kde

m je libovolné přirozené číslo

1.3.3        Posuv v časové oblasti vlevo (předstih)

a) předstih o vzorkovací periodu

Položíme-li , potom

(1.15)

b) předstih o mT, viz [Mindeková 1996]

(1.16)

kde m je libovolné přirozené číslo

1.3.4        Obraz dopředné diference

a) diference 1. řádu

Využitím vlastnosti linearity D-transformace (1.12):

(1.17)

 

b) diference n-tého řádu, viz [Mindeková 1996]

(1.18)

1.3.5        Obraz zpětné diference

a) diference 1. řádu

(1.19)

b) diference n-tého řádu, viz [Mindeková 1996]

(1.20)

 

1.3.6        Obraz dopředné sumace

Dopředná sumace je dána vztahem:

Předpokládáme, že . Odvození obrazu dopředné sumace pomocí dopředné diference :

Provedeme-li D-transformaci vztahu , obdržíme:

potom

(1.21)

 

1.3.7        Obraz zpětné sumace

Zpětná sumace je dána vztahem:

Obraz zpětné sumace určíme pomocí zpětné diference :

Provedeme-li D-transformaci vztahu , obdržíme:

potom

(1.22)

1.3.8        Obraz delta diference

a) delta diference 1. řádu

(1.23)

 

b) delta diference n-tého, řádu viz [Mindeková 1996]

(1.24)

 

1.3.9        Konvolutorní součet

Konvolutorní součet můžeme zapsat následovně:

Pro odvození obrazu konvolutorního součtu si nejprve upravíme vztah pro jeho výpočet:

Výraz  je roven nule, protože argument u funkce  je záporný.

Aby funkce  mohla být originálem, musí být pro záporný čas nulová.

potom

Provedeme-li D-transformaci předchozího vztahu, obdržíme:

(1.25)

 

1.3.10    Počáteční hodnota v časové oblasti

Z definičního vzorce D-transformace (1.3) dostaneme přímo vztah pro výpočet počáteční hodnoty v časové oblasti:

(1.26)

 

1.3.11    Koncová hodnota v časové oblasti

Z definičního vzorce (1.3) obdržíme:

Využitím již dříve odvozené korespondence (1.17) a výše uvedeného vztahu:

Protože platí:

pak po úpravě dostaneme hledaný výraz pro výpočet koncové hodnoty v časové oblasti:

(1.27)

 

1.3.12    Derivace v oblasti komplexní proměnné

K odvození využijeme definičního vzorce (1.3). Derivací tohoto vztahu podle komplexní proměnné g  obdržíme:

potom:

(1.28)

 

1.3.13    Hodnota sumy v časové oblasti

Z definičního vzorce D-transformace (1.3) po úpravě vyplývá:

Provedeme-li derivaci vzorce (1.3) podle komplexní proměnné , obdržíme:

po úpravě:

(1.29)

 

1.3.14    Operace podle nezávislého parametru

Při odvozování dále uvedených vztahů se vychází ze vztahů pro Z-transformaci a došlo se k těmto závěrům, viz [Mindeková 1996]:

(1.30)

1.3.15    Obraz periodické funkce (perioda = mT)

Odvození bylo provedeno na základě vztahu (1.14) a vlastnosti následující geometrické řady, viz [Bartsch 1987]:

, kde pro náš případ .

(1.31)

 

1.3.16    Násobení exponenciální funkcí v časové oblasti

Zavedeme substituci:

(1.32)

 

1.3.17    Změna měřítka (podobnost)

Dosazením za  do vztahu (1.32) obdržíme

(1.33)

 

Výše uvedené základní vlastnosti D-transformace jsou shrnuty v tabulkách Tab.1 a Tab.2 jako příloha.